中線定理，又稱重心定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形三邊和中線長(zhǎng)度關(guān)系。初中三角形中線定理是指三角形一條中線兩側(cè)所對(duì)邊平方的和等于底邊的平方的一半加上這條中線的平方的2倍。

如圖，在△ABC中，AI為BC邊上的中線。求證：AB2+AC2=1/2(BC)2+2AI2

以BC的中點(diǎn)I為原點(diǎn)，直線BC為x軸，射線IC方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(-a，0)，則C點(diǎn)坐標(biāo)為(a，0)。

過(guò)A點(diǎn)做AD⊥x軸交x軸于點(diǎn)D，AE⊥y軸交y軸于點(diǎn)E，則D(m，0)，E(0，n)。

由勾股定理可得

AO2=m2+n2,

中線定理的證明

中線定理的證明

AB2=(a-m)2+n2=a2-2am+m2+n2,

AC2=(a+m)2+n2=a2+2am+m2+n2.

∴AB2+AC2=a2+2am+m2+n2+a2-2am+m2+n2

=2a2+2m2+2n2=2a2+2(m2+n2)

又∵AO2=m2+n2,

∴AB2+AC2=2a2+2AO2

又∵B(-a，0)，C(a，0),

∴a=BC

∴a2=BC2

∴2a2=2·BC2=BC2

∴AB2+AC2=BC2+2AO2=BC2+2AI2。

如圖，AI是△ABC的中線，AH是

高線。利用勾股定理來(lái)證明。

在Rt△ABH中，有AB2=AH2+BH2

同理，有AI2=AH2+HI2，AC2=AH2+CH2

并且BI=CI

那么，AB2+AC2

=2AH2+BH2+CH2

=2(AI2-HI2)+(BI-IH)2+(CI+IH)2

=2AI2-2HI2+BI2+IH2-2BI×IH+CI2+IH2+2CI×IH

=2AI2+2BI2