數列有極限,即當n趨向無窮大時,數列的項Xn無限趨近于或等于a,任意取一個值ε,是表明無論ε是多小的數,Xn與a的差總小于ε,就是Xn無限趨近于或等于a。
數列極限用通俗的語言來說就是:對于數列an,如果它的極限是a,那么,不管給出多小的正數ε,總能找到正整數N,只要數列的下標n>N,就能保證|an-a|<ε。
比如對于這樣一個數列
an=n(當n《100時) 或an=1/n (當n>100時)
這個數列的極限是0。當對于任意給定的正數比如1/3,數列下標在1~100時,|an|>ε=1/3,但只要n>N=100,后面的所有項都滿足|an|<1/3
從這個意義來說,數列有沒有極限,前面的有限項(不管這有限項有多大)不起決定作用。
數列極限的性質(1)極限的唯一性
如果數列{xn}收斂,那么數列的極限唯一。
(2)收斂數列的有界性
如果數列{xn}收斂,那么數列一定有界。
(3)收斂數列的保號性
若數列{xn}收斂于a,且a>0, 則存在正整數N,使得當時n>N時,有xn>0。
以上性質中,極限的唯一性和有界性了解即可;極限的保號性用的是最多的,它常與求遞推數列的極限、函數的極值點與拐點、延續(xù)函數的零點定理等一起應用,也是最容易出錯的。
來源:高三網
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