有界函數(shù)是設(shè)f(x)是區(qū)間E上的函數(shù)，若對(duì)于任意的x屬于E，存在常數(shù)m、M，使得m≤f(x)≤M，則稱(chēng)f(x)是區(qū)間E上的有界函數(shù)。其中m稱(chēng)為f(x)在區(qū)間E上的下界，M稱(chēng)為f(x)在區(qū)間E上的上界。

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，f（x）集合D上有定義。

如果存在數(shù)K1，使得 f(x)≤K1對(duì)任意x∈D都成立，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在D上有上界。

反之，如果存在數(shù)字K2，使得 f(x)≥K2對(duì)任意x∈D都成立，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在D上有下界，而K2稱(chēng)為函數(shù)f(x)在D上的一個(gè)下界。

如果存在正數(shù)M，使得 |f(x)|≤M 對(duì)任意x∈D都成立，則稱(chēng)函數(shù)在X上有界。如果這樣的M不存在，就稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上無(wú)界；等價(jià)于，無(wú)論對(duì)于任何正數(shù)M，總存在x1屬于X，使得|f(x1)|>M，那么函數(shù)f(x)在X上無(wú)界。

此外，函數(shù)f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界也有下界。

函數(shù)的有界性與其他函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系

函數(shù)的性質(zhì)：有界性，單調(diào)性，周期性，延續(xù)性，可積性。

單調(diào)性：

閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)必有界。其逆命題不成立。

延續(xù)性：

閉區(qū)間上的延續(xù)函數(shù)必有界。其逆命題不成立。

可積性：

閉區(qū)間上的可積函數(shù)必有界。其逆命題不成立。

來(lái)源：高三網(wǎng)