拐點又稱反曲點，在數(shù)學(xué)上指改變曲線向上或向下方向的點，直觀地說拐點是使切線穿越曲線的點（即延續(xù)曲線的凹弧與凸弧的分界點）。

若該曲線圖形的函數(shù)在拐點有二階導(dǎo)數(shù)，則二階導(dǎo)數(shù)在拐點處異號（由正變負(fù)或由負(fù)變正）或不存在。

可以按下列步驟來推斷區(qū)間I上的延續(xù)曲線y=f(x)的拐點：

⑴求f''(x)；

⑵令f''(x)=0，解出此方程在區(qū)間I內(nèi)的實根，并求出在區(qū)間I內(nèi)f''(x)不存在的點；

⑶對于⑵中求出的每一個實根或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點x，檢查f''(x)在這個點x左右兩側(cè)鄰近的符號，那么當(dāng)兩側(cè)的符號相反時，這個點(x，f(x))是拐點，當(dāng)兩側(cè)的符號相同時，(x，f(x))不是拐點。

常見的充分性條件是二階導(dǎo)數(shù)在這個點的左右兩側(cè)變號。

二階導(dǎo)數(shù)等于0是必要條件，若三階導(dǎo)數(shù)不為0（前提存在），則必是拐點。三階導(dǎo)數(shù)也為0，結(jié)論不定。比如f(x)=x^4，0點的2 3 階導(dǎo)數(shù)都是0，但0不是拐點。

從集合的角度來說，必要條件的集合包含要證明的集合，充分條件的集合，是證明集合的子集。 總之，必要條件的集合包含的范圍大些，充分的小些。

來源：高三網(wǎng)